Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于D，AE平分∠BAD，交BC于E，在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC．

（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點M，使得BM=2DE，連接ME

①求證：ME⊥BC；

②求∠EMC的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②67.5°

【解析】

試題（1）由等腰直角三角形的性質可知∠ABC=∠ACB=45°，由FC⊥BC可知∠ACF=45°，從而得出∠ABE=∠ACF；由∠BAE、∠CAF均為∠EAC的余角可得出∠BAE=∠CAF，結合AB=AC即可得出△ABE≌△ACF，根據全等三角形的性質即可得出結論；

（2）①過點E作EQ⊥AB于點Q，由△AEQ≌△AED可得出QE=DE；根據∠BQE=90°和∠QBE=45°可得出∠BEQ=45°、BQ=QE，再由BE=2DE=2QE即可得出∠QEC=45°，由此可得出∠BEM=90°，即ME⊥BC；

②設DE=a，則BM=2a，根據等腰直角三角形的性質可用含a的代數式表示AB和BD，由邊與邊的關系可得出AM=ME，結合MC=MC可證得Rt△MAC≌Rt△MEC，即∠EMC=∠AMC，再根據角與角的關系即可得出結論．

試題解析：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵FC⊥BC，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴∠ACF=45°=∠ABE．

∵∠BAC=90°，FA⊥AE，

∴∠BAE+∠EAC=90°=∠CAF+∠EAC，

∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF．

（2）①過點E作EQ⊥AB于點Q，如圖所示．

∵AE平分∠BAD，

∴∠QAE=∠DAE，

在△AEQ和△AED中，

，

∴△AEQ≌△AED（AAS），

∴QE=DE．

∵∠BQE=90°，∠QBE=45°，

∴∠BEQ=45°，

∴BQ=QE，

又∵BM=2DE=QE，

∴QM=QE，

∴∠QEM=∠QME==45°，

∴∠BEM=∠BEQ+∠QEM=90°，

∴ME⊥BC．

②設DE=a，則BM=2a．

∵△BEM為等腰直角三角形，

∴BE=EM=BM=a，

∴BD=BE+DE=（+1）a．

∵△ABC為等腰直角三角形，AD⊥BC，

∴AB=BD=×（+1）a=（2+）a，

∵BM=2a，

∴AM=（2+）a﹣2a=a，

∴AM=EM．

在Rt△MAC和Rt△MEC中， ，

∴Rt△MAC≌Rt△MEC（HL），

∴∠EMC=∠AMC，

又∵∠BME=45°，

∴∠EMC=（180°﹣45°）=67.5°．