Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，過點 D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）若⊙O的半徑為2，∠A＝60°，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，先說明OD//AC，進而得到∠ODE=∠CED=90°，再根據DE⊥AC，即可證出OD⊥DE，從而完成證明；

（2）利用（1）中的結論，可以說明明△BOD是等邊三角形，即可求得CD和BD的長，最后根據銳角三角函數即可解答．

（1）證明：連接OD．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB．

∴∠C＝∠ODB．

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC＝90°．

∴∠ODE＝∠DEC＝90°．

又OD是⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC為等邊三角形．

∴∠C＝60°，BC＝AB．

∵OD∥AC，

∴＝．

∴BD＝CD．

∴CD＝BC＝AB＝2．

在Rt△CDE中，∠C＝60°，CD＝2，

∵sinC＝，

∴DE＝CDsinC＝．