Question

【題目】如果一個多邊形的各邊都相等，且各內角也都相等，那么這個多邊形就叫做正多邊形，如圖，就是一組正多邊形，觀察每個正多邊形中∠α的變化情況，解答下列問題．

（1）將下面的表格補充完整：

正多邊形的邊數	3	4	5	6	……	18
∠α的度數					……

（2）根據規律，是否存在一個正n邊形，使其中的∠α=20°？若存在，直接寫出n的值；若不存在，請說明理由．

（3）根據規律，是否存在一個正n邊形，使其中的∠α=21°？若存在，直接寫出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°，45°，36°，30°，10°；（2）當多邊形是正九邊形，能使其中的∠α=20°；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）根據多邊形內角和公式求出多邊形的內角和，再根據三角形內角和定理求出即可；

（2）根據表中的結果得出規律，根據規律得出方程，求出方程的解即可；

（3）根據表中的結果得出規律，根據規律得出方程，求出方程的解即可．

（1）填表如下：

正多邊形的邊數	3	4	5	6	……	18
∠α的度數	60°	45°	36°	30°	……	10°

故答案為：60°，45°，36°，30°，10°；

（2）存在一個正n邊形，使其中的∠α=20°，

理由是：根據題意得：=20°，

解得：n=9，

即當多邊形是正九邊形，能使其中的∠α=20°；

（3）不存在，理由如下：

假設存在正 n 邊形使得∠α=21°，得 ，

解得：，又 n 是正整數，

所以不存在正 n 邊形使得∠α=21°．