Question

【題目】已知正方形ABCD如圖所示，連接其對角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點F，過點B作BM⊥CF于點N，交AC于點M，過點C作CP⊥CF，交AD延長線于點P．

（1）若正方形ABCD的邊長為4，求△ACP的面積；

（2）求證：CP=BM+2FN．

Answer 1

【答案】（1）8 ；（2）證明見解析.

【解析】

試題

（1）由已知條件先證：∠ACP=∠APC=67.5°，可得AP=AC=，再由S△ACP=APCD計算即可；

（2）由已知條件先證：△PDC≌△FBC，可得：CP=CF；在CN上截取NH=FN，連接BH，證△AMB≌△BHC可得：BM=HC，由此可得CF=CH+HF=BM+2FN，從而可得結(jié)論.

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，CF平分∠ACB，

∴∠1=∠2=22.5°，

又∵CP⊥CF，

∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°

∴∠3=∠1=22.5°

∴∠P=67.5°

又四邊形ABCD為正方形，

∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°

∴∠P=∠ACP

∴AP=AC

又AC=AB=4，

∴AP=4，

∴S△APC=APCD=；

（2）∵在△PDC和△FBC中： ，

∴△PDC≌△FBC，

∴CP=CF.

在CN上截取NH=FN，連接BH

∵FN=NH，且BN⊥FH，

∴BH=BF，

∴∠4=∠5，

∴∠4=∠1=∠5=22.5°，

又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°，

∴∠HBC=∠BAM=45°，

在△AMB和△BHC中：，

∴△AMB≌△BHC，

∴CH=BM，

∴CF=BM+FH=BM+2FN，

∴CP=BM+2FN．