Question

【題目】如圖1，四邊形OABC是菱形，點C在x軸上，AB交y軸于點H，AC交y軸于點M.已知點A(－3，4)．

(1)求AO的長；

(2)求直線AC的解析式和點M的坐標；

(3)如圖2，點P從點A出發，以每秒2個單位的速度沿折線A－B－C運動，到達點C終止．設點P的運動時間為t秒，△PMB的面積為S.

①求S與t的函數關系式；

②求S的最大值．

　

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）5；（2）y＝－x＋，M（0，）；（3）①S＝；②.

【解析】

（1）根據A的坐標求出AH、OH，根據勾股定理求出即可；

（2）根據菱形性質求出B、C的坐標，設直線AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程組，求出即可；

（3）①過M作MN⊥BC于N，根據角平分線性質求出MN，P在AB上，根據三角形面積公式求出即可；P在BC上，根據三角形面積公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比較即可得到答案．

（1）∵A（-3，4），

∴AH=3，OH=4，

由勾股定理得：AO==5；

（2）∵四邊形OABC是菱形，

∴OA=OC=BC=AB=5，

5-3=2，

∴B（2，4），C（5，0），

設直線AC的解析式是y=kx+b，

把A（-3，4），C（5，0）代入得： ，

解得：，

∴直線AC的解析式為y＝－x＋，

當x=0時，y=2.5，

∴M（0，2.5）；

（3）①過M作MN⊥BC于N，

∵四邊形OABC是菱形，

∴∠BCA=∠OCA，

∵MO⊥CO，MN⊥BC，

∴OM=MN，

當0≤t＜2.5時，P在AB上，MH=4-2.5=，

=×BP×MH=×（5-2t）×=-t+，

∴S＝t+，

當t=2.5時，P與B重合，△PMB不存在；

當2.5＜t≤5時，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t-5）×=t-，

∴S＝t，

故S＝；

②當P在AB上時，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P與A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上時，P與C重合時，S最大是×5×=，
∴S的最大值是．