Question

【題目】用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形．設格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數之和為m，內部的格點個數為n，試探究S與m、n之間的關系式．

（1）根據圖中提供的信息填表：

	格點多邊形各邊上的 格點的個數	格點邊多邊形內部的 格點個數	格點多邊形的面積
多邊形1	4	1	2
多邊形2	5	2	②
多邊形3	6	3	5
多邊形4	①	4
一般格點多邊形	m	n	S

則S=（用含m、n的代數式表示）
（2）對正三角形網格中的類似問題進行探究：正三角形網格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，如圖1、2是該正三角形格點中的兩個多邊形：設格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數之和為m，內部的格點個數為n，試探究S與m、n之間的關系式．則S與m、n之間的關系為S=（用含m、n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）,5,S= m+n﹣1
（2）m+2（n﹣1）
【解析】解：（1）多邊形2的面積= ×1+ ×3×1= ，多邊形4的邊上的格點數的和為5，

因為2= ×4+1﹣1； = ×5+2﹣1；5= ×6+3﹣1； = ×5+4﹣1，

所以S= m+n﹣1，

所以答案是： ，5，S= m+n﹣1；（2）因為圖1中，m=8，n=1，S=8，8=8+2（1﹣1），圖2中，m=7，n=3，S=11，11=7+2（3﹣1），

所以S=m+2（n﹣1）．

所以答案是:m+2（n﹣1）．