Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，，B、C、E三點共線，BE平分∠AED，F為CD的中點，AF、AC的延長線分別交DE于H、G點。

求證：⑴; ⑵

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

⑴通過△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠AED=∠BAC=90°，證明∠AGD=∠GAD即可；

(2)延長AF至k點，使AF=FK,連接DK,則AF=AK，證明△ACF≌△KDF得DK=AC=AB，∠CAF=∠K，再證明△AEB≌△KDA即可.

⑴∵BE平分∠AED，△ADE為等腰直角三角形

∴∠AEC=∠BED=22.5°

∵∠AED=∠BAC=90°

∴∠GAE=∠BAD

∵△ABC為等腰直角三角形

∴∠BCA=45°

∴∠ECA=135°

∵∠AEC =22.5°

∴∠GAE=22.5°=∠BAD

∴∠AGD=∠AEG+∠EAG=67.5°

∠GAD=∠EAD-∠EAG=67.5°.

∴∠AGD=∠GAD.

∴AD=AG.

(2)延長AF至k點，使AF=FK,連接DK,則AF=AK;

∵F為CD的中點

∴CF=FD

在△ACF和△KDF中，CF=FD，∠CFA=∠DFK,AF=FK

∴△ACF≌△KDF

∴DK=AC=AB，∠CAF=∠K

∴∠KDA+∠CAD=180°

∵∠EAB+∠CAD=180°

∴∠KDA=∠EAB

在△AEB和△KDA中, ∠KDA=∠EAB, DK=AC,AE=AD

∴△AEB≌△KDA

∴BE=AK

∴