Question

【題目】將直角三角板ABC按如圖1放置，直角頂點C與坐標原點重合，直角邊AC、BC分別與x軸和y軸重合，其中∠ABC＝30°．將此三角板沿y軸向下平移，當點B平移到原點O時運動停止．設平移的距離為m，平移過程中三角板落在第一象限部分的面積為s，s關于m的函數圖象（如圖2所示）與m軸相交于點P（，0），與s軸相交于點Q．

（1）試確定三角板ABC的面積；

（2）求平移前AB邊所在直線的解析式；

（3）求s關于m的函數關系式，并寫出Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）S＝；（2）y＝﹣x+；（3）s＝﹣m+，（0≤m≤），Q（0，）．

【解析】

（1）根據點P坐標可得OB的長，根據含30°角的直角三角形的性質及勾股定理可求出OA的長，即可求出△ABC的面積；

（2）設AB的解析式y＝kx+b，把A（1，0），B（0，）代入列方程組即可求出b、k的值，進而可得直線AB解析式；

（3）設移動過程中，AB與x軸的交點為D，可得OB=-m，根據含30°角的直角三角形的性質可用m表示出OD的長，即可得出s關于m的關系式，把m=0代入即可求出點Q坐標．

∵與m軸相交于點P（，0），

∴m=時，s=0，

∴OB＝，

∵∠ABC＝30°，

∴AB=2OA，

∴OA2+OB2=AB2，即OA2+3=4OA2，

解得：OA=1，（負值舍去）

∴S△ABC＝＝．

（2）∵B（0，），A（1，0），

設AB的解析式y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+；

（3）設移動過程中，AB與x軸的交點為D，

∵OB=，平移的距離為m，

∴平移后OB＝﹣m，

∵∠ABC=30°，

∴BD=2OD，

∴OD2+OB2=BD2，即OD2+（﹣m）2=4OD2

∴OD＝1﹣m，

∵s在第一象限，OB=，

∴0≤m≤，

∴s＝×（﹣m）×（1﹣m）＝﹣m+（0≤m≤），

當m＝0時，s＝，

∴Q（0，）．