Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線交于點D，過點B作BE⊥BA，交DC延長線于點E，連接OE，交⊙O于點F，交BC于點H，連接AC。

（1）求證：∠ECB＝∠EBC；

（2）連接BF，CF，若CF＝6，sin∠FCB=，求AC的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）AC的長為

【解析】試題分析：（1）只要證明EB是⊙O的切線，利用切線長定理可知EC=EB，即可解決問題．
（2）連接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH=，推出FH=CFsin∠FCH=，CH=，設OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2，可得x2=（）2+（x-）2，解得x=5，推出OH=，再利用三角形中位線定理證明AC=2OH即可解決問題．

試題解析：（1）證明：∵BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切線，∵EC是⊙O的切線，
∴EC=EB，
∴∠ECB=∠EBC．
（2）連接CF、CO、AC．

∵EB=EC，OC=OB，
∴EO⊥BC，
∴∠CHF=∠CHO=90°，
在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH=，
∴FH=CFsin∠FCH=，CH=，
設OC=OF=x，
在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2，
∴x2=（）2+（x-）2，
∴x=5，
∴OH=，
∵OH⊥BC，
∴CH=HB，∵OA=OB，
∴AC=2OH=．