Question

【題目】如圖，在中，已知，，，點是邊上的任意一動點，點與點關于直線對稱，直線與直線相交于點．

（1）求邊上的高；

（2）當為何值時，△與△重疊部分的面積最大，并求出最大值；

（3）連接，當為直角三角形時，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）3（2）（3）或

【解析】

（1）過點A做APBC垂足為P,根據題意推出B=C=30,再求出AP的值即為BC邊上的高；

（2）由對稱及AD與DC至少有一段不會超過BC的一半，得出當△ADB與△ADC完全重合時，即當BD=3時△ADB與△ADC重疊部分的面積最大；

（3）先判斷只有BDB=90才符合題意，再分別討論當點在點右側時或右側時即可.

（1）過點做垂足為

∵且

∴

在中，

∴

∴底邊上的高.

（2）當時，△與△重疊部分的面積最大.

此時、、三點重合，重疊部分為△，其面積為：

（理由如下：∵點與點關于直線對稱，∴△與△關于直線對稱，∴△≌△，∴，∵與至少有一段不會超過的一半，∴與至少有一個不會超過的一半，∴與至少有一個不會超過的一半，∴當△與△完全重合時，△與△重疊部分的面積最大，并且最大值為的一半）.

（3）由軸對稱可知：，∴

即當為直角三角形時，

.

如圖：當點在點右側時

由軸對稱可知：

∴.

∴

.

如圖：當點在點左側時

由軸對稱可知：.

∴

綜上所述，當為直角三角形時，的度數為或.