Question

【題目】問題提出 平面內不在同一條直線上的三點確定一個面，那么平面內的四點（任意三點均不在同一直線上），能否在同一個面上呢？
初步思考
設不在同一條直線上的三點A、B、C確定的圓為⊙O．
（1）當C、D在線段AB的同側時．
如圖①，若點D在⊙O上，此時有∠ACB=∠ADB，理由是 ．
如圖②，若點D在⊙O內，此時有∠ACB∠ADB；
如圖③，若點D在⊙O外，此時有∠ACB∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，請直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件： ．
類比學習
（2）仿照上面的探究思路，請探究：當C、D在線段AB的異側時的情形．
由上面的探究，請用文字語言直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件： ．
拓展延伸
（3）如何過圓上一點，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？ 已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，求作：CN⊥AB
作法：①連接CA、CB
②在CB上任取異于B、C的一點D，連接DA，DB；
③DA與CB相交于E點，延長AC、BD，交于F點；
④連接F、E并延長，交直徑AB與M；
⑤連接D、M并延長，交⊙O于N，連接CN，則CN⊥AB．
請安上述作法在圖④中作圖，并說明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的結論）

Answer 1

【答案】
（1）同弧所對的圓周角相等；＜；＞；當C、D在線段AB的同側且∠ACB=∠ADB時，A、B、C、D四點在同一個圓上
（2）當C、D在線段AB的異側且∠ACB+∠ADB=180°時，A、B、C、D四點在同一個圓上
（3）解：圖⑦即為所求作．

∵AB是⊙0的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，

∴根據三角形的三條高交于同一點可得：FM⊥AB．

∴∠EMB=90°．

∴∠EMB+∠EDB=180°．

∴由（2）中的結論可得：點E、D、B、M在同一個圓上，如圖⑦所示．

∴∠EMD=∠EBD．

∵∠CND=∠CBD，

∴∠CND=∠EMD．

∴CN∥EM．

∴∠CHB=∠EMB．

∵∠EMB=90°，

∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．

【解析】解：（1）①如圖①，根據“同弧所對的圓周角相等”得∠ACB=∠ADB． ②如圖②，延長BD交⊙O于點E，
∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB
∴∠ACB＜∠ADB．
③如圖③，連接AF，
∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB
∴∠ACB＞∠ADB．
所以答案是：同弧所對的圓周角相等、＜、＞、
當C、D在線段AB的同側且∠ACB=∠ADB時，A、B、C、D四點在同一個圓上．
2）①如圖④，
∵ 與 的度數之和等于360°，
且∠ADB的度數等于 度數的一半，
∠ACB的度數等于 度數的一半，
∴∠ACB+∠ADB=180°．
②如圖⑤，延長AD交⊙O于點E，連接BE，
∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＞180°．
③如圖⑥，連接BF，
∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＜180°．
所以答案是：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．
當C、D在線段AB的異側且∠ACB+∠ADB=180°時，A、B、C、D四點在同一個圓上．


【考點精析】通過靈活運用平行線的判定與性質和三角形的外角，掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角即可以解答此題．