Question

【題目】如圖所示是一個紙杯，它的母線延長后形成的立體圖形是圓錐，該圓錐的側面展開圖是扇形OAB，經測量，紙杯開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=9cm，求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】解：由題意可知： =6πcm， =4π，設∠AOB=n，AO=R，則CO=R﹣9， 由弧長公式得：l= ，
∴ ，
解得：n=40，R=27，
故扇形OAB的圓心角是40度．
∵R=27，R﹣9=18，
∴S扇形OCD= ×4π×18=36π（cm2），
S扇形OAB= ×6π×27=81π（cm2），
紙杯側面積=S扇形OAB﹣S扇形OCD=81π﹣36π=45π（cm2），
紙杯底面積=π22=4π（cm2）
紙杯表面積=45π+4π=49π（cm2）．
【解析】（1）設∠AOB=n°，AO=R，則CO=R﹣9，利用圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系列方程，并聯立成方程組求解即可（2）求紙杯的側面積即為扇環的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積=S紙杯側面積+S紙杯底面積 ．
【考點精析】通過靈活運用幾何體的展開圖和扇形面積計算公式，掌握沿多面體的棱將多面體剪開成平面圖形，若干個平面圖形也可以圍成一個多面體；同一個多面體沿不同的棱剪開，得到的平面展開圖是不一樣的，就是說：同一個立體圖形可以有多種不同的展開圖；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）即可以解答此題．