Question

【題目】如圖，已知四邊形為的內接四邊形，對角線、交于，．

（1）求證：；

（2）作的角分線交于點，連接，若，連接、，與交于，求證：；

（3）在（2）的條件下，連接，延長交于點，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）4

【解析】

（1）先判斷出∠OBD=∠ODB，再判斷出∠OBA=∠ODA，進而得出∠ADB=∠ABD，即可得出結論；

（2）設∠ADF=，則∠ABF=∠DBF=，∠ADB=，∠O=，∠EFD=，∠OFD=，所以∠OFE=，結論得證；

（3）連接DQ，在FQ上取一點N使∠ADN=∠ADF，連接AN，證明△AQN≌△DQN≌△DQE，得出∠EQD=∠DQN=∠AQN=，求出=10°，求出BP，BE長，則AD長可求出．

（1）如圖1，連接OA、OB、OD，

∴OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵OA=OB=OD，

∴∠OAB=∠OBA，∠OAD=∠ODA，

∵∠ACB=∠ACD，

∴∠AOB=∠AOD，

∴∠OBA=∠ODA，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD；

（2）如圖2，連接OD，設∠ADF=，

∴∠ABF=∠DBF=，

∴∠ADB=，∠O=，

∵

∴

∴∠EDF=+=

∴∠EFD=，

∠OFD=，

∴∠OFE=∠OFD-∠EFD=，

∴∠ADF=2∠OFE；

（3）如圖3，連接DQ，在FQ上取一點N使∠ADN=∠ADF，連接AN，

∵∠FDE=，EP⊥BC，

∴∠BEP=，∠CBD=∠CAD=，OF垂直平分AD，∠FAD=∠DAN=，

∴∠QAN=，QA=QD，

∴∠NDQ=，∠BDN=，

∴∠EDN=，DE=DF=DN=AN，AQ=QD，

∴△AQN≌△DQN≌△DQE（SAS），

∴∠EQD=∠DQN=∠AQN=，

∴

∴，

∴∠ABE=，

∴∠BEA=∠BAE=，AD=AB=BE，

在Rt△BPE中，∠PBE=，

∴BP=，BE=

∴AD=4．

故答案為：4