Question

【題目】已知四邊形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180，連接AC，BD.

(1)如圖1,當∠ACD=∠CAD=45時，求∠CBD的度數；

(2)如圖2,當∠ACD=∠CAD=60時，求證：AB+BC=BD；

(3)如圖3,在(2)的條件下,過點C作CK⊥BD于點K,在AB的延長線上取點F,使∠FCG=60,過點F作FH⊥BD于點H,BD=8,AB=5,GK=，求BH的長。

Answer 1

【答案】(1)45°

（2）見解析

（3）

【解析】

（1）根據已知條件得到A，B，C，D四點共圓，根據圓周角定理即可得到結論；

（2）在BD截取BE=AB，連接CE，根據圓周角定理得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△ABE是等邊三角形，△ACD是等邊三角形，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（3）根據圓周角定理得到∠CBD=∠ABC=∠CAD=60°，解直角三角形得到BK=,,CK=,DK=,由勾股定理得到CD=7,求得AC=CD=7，根據相似三角形的性質得到AF=,BF=,解直角三角形即可得到結論．

(1) ∵∠ABC+∠ADC=180，

∴A，B，C，D四點共圓，

∵∠ACD=∠CAD=45，

∴∠CBD=∠CAD=45；

(2) 在BD截取BE=AB，連接CE，

∵∠ABC+∠ADC=180，

∴A，B，C，D四點共圓，

∴∠ABD=∠ACD=60，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AB=BE=AE，

∵∠ACD=∠CAD=60，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AC=AD,∠CAD=∠BAE=60，

∴∠BAC=∠DAE，

在△ABC與△ADE中,

∴△ABC≌△AED，

∴BC=DE，

∵BD=BE+DE，

∴BD=BC+AB；

(3)∵BD=8，AB=5，

∴BC=3，

∵A，B，C，D四點共圓，

∴∠CBD=∠ABC=∠CAD=60，

∵CK⊥BD，

∴BK=BC=,CK=,

∴DK=，

∴CD==7

∴AC=CD=7，

∵∠FCG=60，

∴∠FCG=∠CBD，

∵A，B，C，D四點共圓，

∴∠BAC=∠CDB，

∴△AFC∽△DCB，

∴，

∴AF=，

∴BF=，

∵∠FBH=∠ABD=60，

∵FH⊥BD，

∴BH=BF=.