Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，直線y=kx+n（k≠0）經過B、C兩點．已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．
（1）求B點坐標；
（2）分別求直線BC和拋物線的解析式（關系式）．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得到OB的長，從而可得B點坐標；
（2）把B點和C點坐標代入y=kx+n得到k、n的方程組，然后解方程可確定直線BC的解析式；對于拋物線，可設交點式y=a（x-1）（x-4），然后把C點坐標代入求出a即可．

解答 解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
在Rt△COB中，∵OC=3，BC=5，∠BOC=90°，
∴OB=$\sqrt{{5^2}-{3^2}}=4$，
∴點B的坐標是（4，0）；
（2）∵直線y=kx+n（k≠0）經過B（4，0）、C（0，3）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，即得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$
∴直線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；
設拋物線解析式為y=a（x-1）（x-4），
把C（0，3）代入得a•（-1）•（-4）=3，解得a=$\frac{3}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{3}{4}$（x-1）（x-4），即y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：從y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系數法求函數解析式．