Question

【題目】圖1、圖2為同一長方體房間的示意圖，圖3為該長方體的表面展開圖．

（1）蜘蛛在頂點A′處．

①蒼蠅在頂點B處時，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；

②蒼蠅在頂點C處時，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC和往墻面BB′C′C爬行的最近路線A′HC，試通過計算判斷哪條路線更近；

（2）在圖3中，半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，蜘蛛P在線段AB上，蒼蠅Q在⊙M的圓周上，線段PQ為蜘蛛爬行路線，若PQ與⊙M相切，試求PQ長度的范圍．

Answer 1

【答案】（1）①作圖見試題解析；②往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC更近；（2）dm≤PQ≤55dm．

【解析】

試題分析：（1）①根據“兩點之間，線段最短”可知：線段A′B為最近路線；

②Ⅰ．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形ABCD在同一平面內，如圖2①，運用勾股定理求出AC長；Ⅱ．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形BCC′B′在同一平面內，如圖2②，運用勾股定理求出A′C長，然后將兩個長度進行比較，就可解決問題；

（2）過點M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．由⊙M與D′C′相切于點Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根據勾股定理可得PQ=．要求PQ的取值范圍，只需先求出MP的取值范圍，就可解決問題．

試題解析：（1）①根據“兩點之間，線段最短”可知：線段A′B為最近路線，如圖1所示．

②Ⅰ．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形ABCD在同一平面內，如圖2①．

在Rt△A′B′C中，∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，∴AC===；

Ⅱ．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形BCC′B′在同一平面內，如圖2②．

在Rt△A′C′C中，∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，∴A′C===．∵＜，∴往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC更近；

（2）過點M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．

∵半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，BC′=60dm，∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，根據勾股定理可得AM===，MB===，∴50≤MP≤．∵⊙M與D′C′相切于點Q，∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，∴PQ=．當MP=50時，PQ==；

當MP=時，PQ==55．

∴PQ長度的范圍是dm≤PQ≤55dm．