Question

如圖，等腰△ABC中，AC=BC，CD是底邊上的高，∠A=30°．
（1）CD與AB有什么數量關系？請說明理由；
（2）過點D作DD₁⊥BC，垂足為D₁；D₁D₂⊥AB，垂足為D₂；D₂D₃⊥BC，垂足為D₃；D₃D₄⊥AB，垂足為D₄；…；D_2n+1D_2n⊥AB，垂足為D_2n；D_2n+1D_2n⊥BC，垂足為D_2n+1（n為非零自然數）．若CD=a，請用含a的代數式表示下表中線段的長度（請將結果直接填入表中）；

線段	D1D2	D3D4	D5D6	…	D2n-1 D2n
長度	3 4 a			…

（3）某工業園區一個車間的人字形屋架為（2）中的圖形，跨度AB為16米，CD是該屋架的主柱，DD₁，D₁D₂，D₂D₃…D_2n+1D_2n為輔柱．若整個屋架有18根輔柱，則最短一根輔柱的長度約為多少米？（結果精確到0.1米）

Answer 1

（1）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=

1

2

AB．
在Rt△ACD中，

CD

AD

=tan30°，∴CD=ADtan30°=

1

2

AB×

3

3

=

3

6

AB．

（2）填表依次為：(

3

4

)2a（或

32

42

a或

9

16

a），(

3

4

)3a
（或

33

43

a或

27

64

a），(

3

4

)na（或

3n

4n

a）

（3）∵整個屋架有18根輔柱，
∴右側最短一根輔柱為D₈D₉，倒數第二根為D₇D₈，
D₈D₉=D₇D₈cos30°=（

3

4

）⁴a×cos30°=（

3

4

）⁴×

3

6

AB×cos30°
=（

3

4

）⁴×

3

6

×16×cos30°=

81

64

≈1.3（米）．
答：最短一根輔柱的長度約為1.3米．