Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2

2

的⊙O′與y軸交于A、B兩點，與直線OC相切于點C，∠BOC=45°，BC⊥OC，垂足為C．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在

BC

上取一點D，連接DA、DB、DC，DA交BC于點E．求證：BD•CD=AD•ED；
（3）延長BC交x軸于點G，求經過O、C、G三點的二次函數的解析式．

Answer 1

（1）∵OC與⊙O'相切
∴O'C⊥OC
又∵BC⊥OC
∴O'在BC上，即BC為⊙O'的直徑
∴∠CAB=90°
∴CA⊥BA
∵∠BOC=45°
∴△BOC為等腰直角三角形
∴A為OB的中點，CD=

1

2

OB=AB
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）證明：∵AC=AB
∴

AC

=

AB

．
∴∠ADC=∠ADB
又∵∠CAD=∠CBD
∴△ADC∽△BDE
∴

AD

BD

=

DC

DE

，
即BD•CD=AD•ED．

（3）在Rt△BOC中
∵⊙O′的半徑為2

2

∴BC=4

2

∵∠BOC=45°
∴OB=

2

•BC=8，CA=OA=AB=

1

2

OB=4
∵CA∥x軸，
∴C點坐標為（-4，-4）
∴BC=CG
∴AC為△BGO的中位線
∴OG=2AC=8
∴G點坐標為（-8，0）
設過O、C、G三點的二次函數為y=ax²+bx+c，
由已知，函數圖象過（0，0），（-4，-4），（-8，0）三點，得

c=0 16a-4b=-4 64a-8b=0

解這個方程組，得
a=

1

4

，b=2，c=0
因此，所求二次函數是y=

1

4

x²+2x．