Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，ΔECG是等腰直角三角形，∠BGE的平分線過點D交BE 于H，O是EG的中點，對于下面四個結論：①GH⊥BE；②OH∥BG，且；③；④△EBG的外接圓圓心和它的內切圓圓心都在直線HG上．其中表述正確的個數是( )

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由四邊形ABCD是正方形，△ECG是等腰直角三角形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，從而得出GH⊥BE；

②由GH是∠EGC的平分線，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中點，利用中位線定理，得出OH∥BG，且；

③由（2）得BG=EG，設CG=x，則CE=x，根據勾股定理得EG=x，所以BG=x，從而得到BC=(-1)x，根據正方形面積公式和等腰直角三角形面積公式可以得到S正方形ABCD=(3-2)x2，S△ECG=x2，進而求出；

④三角形的外接圓的圓心是三條邊的垂直平分線的交點，三角形的內切圓是的圓心是三個角的平分線的交點．由（2）得BG=EG，由（1）得GH⊥BE，因為GH平分∠BGE，所以GH是BE邊上的垂直平分線，所以△EBG的外接圓圓心和內切圓圓心在直線HG上．

解：①∵四邊形ABCD是正方形，△ECG是等腰直角三角形

∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°

在△BCE和△DCG中，

∴△BCE≌△DCG（SAS）

∴∠BEC=∠BGH

∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE

∴∠BEC+∠HDE=90°

∴GH⊥BE

故①正確；

②∵GH是∠EGC的平分線

∴∠BGH=∠EGH

在△BGH和△EGH中，

∴△BGH≌△EGH（ASA）

∴BH=EH

∵O是EG的中點

∴HO是△EBG的中位線

∴OH∥BG，且

故②正確；

③由（2）得△BGH≌△EGH

∴BG=EG

在等腰直角三角形ECG中，設CG=x，則CE=x

∴EG==x

∴BG=x

∴BC=BG-CG=x-x=(-1)x

∴S正方形ABCD=BC2=[(-1)x]2 =(3-2)x2

S△ECG=CGCE=x2

∴S正方形ABCD∶S△ECG=(3-2)x2∶x2=(6-4)∶1

故③正確；

④由（2）得BG=EG，由（1）得GH⊥BE

∵GH平分∠BGE，

∴GH是BE邊上的垂直平分線

∵三角形的外接圓的圓心是三條邊的垂直平分線的交點，三角形的內切圓是的圓心是三個角的平分線的交點．

∴△EBG的外接圓圓心和內切圓圓心在直線HG上

故④正確．

故選D．