Question

【題目】如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，點M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足為N．
（1）求證：OM=AN；
（2）若⊙O的半徑R=3，PA=9，求OM的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OA，則OA⊥AP，

∵MN⊥AP，

∴MN∥OA，

∵OM∥AP，

∴四邊形ANMO是矩形，

∴OM=AN

（2）解：連接OB，則OB⊥BP

∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．

∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．

∴Rt△OBM≌Rt△MNP，

∴OM=MP．

設OM=x，則NP=9﹣x，

在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2

∴x=5，即OM=5．

【解析】（1）連接OA，由切線的性質可知OA⊥AP，再由MN⊥AP可知四邊形ANMO是矩形，故可得出結論；（2）連接OB，則OB⊥BP由OA=MN，OA=OB，OM∥AP．可知OB=MN，∠OMB=∠NPM．故可得出Rt△OBM≌△MNP，OM=MP． 設OM=x，則NP=9﹣x，在Rt△MNP利用勾股定理即可求出x的值，進而得出結論．