Question

【題目】如圖所示，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，點D為AB邊上的一點．

（1）求證：△BCD≌△ACE；

（2）若AD=3，BD=4，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

（1）根據同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夾這個角的兩邊分別是兩等腰直角三角形的腰，利用SAS即可證明；

（2）根據全等三角形的對應邊相等、對應角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE長度．

（1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=DC．

∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，

∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACE=∠BCD．

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）由（1）得，∠CAE=∠B=45°，AE=BD=4，

又∠BAC=45°

∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，

即△EAD是直角三角形，

∴

∵AD=3

∴DE==5.