Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論：
①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．
其中正確的是 ． （把所有正確結論的序號都選上）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：

∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，
∴AF= =8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
設EF=x，則CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，
在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2 ，
∴（6﹣x）2+22=x2 ， 解得x= ，
∴ED= ，
∵△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，
∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，
∴∠2+∠3= ∠ABC=45°，所以①正確；
HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
設AG=y，則GH=y，GF=8﹣y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2 ，
∴y2+42=（8﹣y）2 ， 解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D， = = ， = ，
∴ ≠ ，
∴△ABG與△DEF不相似，所以②錯誤；
∵S△ABG= 63=9，S△FGH= GHHF= ×3×4=6，
∴S△ABG= S△FGH ， 所以③正確；
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以④正確．
所以答案是①③④．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似圖形的相關知識，掌握形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對應成比例，夾角相等；④三邊對應成比例．