Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交BC的延長線于點M，若∠A=40度．
（1）求∠NMB的度數；
（2）如果將（1）中∠A的度數改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的度數；
（3）你發現有什么樣的規律性，試證明之；
（4）若將（1）中的∠A改為鈍角，你對這個規律性的認識是否需要加以修改？

Answer 1

（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

1

2

(180°-∠A)=

1

2

(180°-40°)=70°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

1

2

(180°-∠A)=

1

2

(180°-70°)=55°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°；

（3）規律：∠NMB的度數等于頂角∠A度數的一半，
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

1

2

（180°-∠A），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-

1

2

（180°-∠A）=

1

2

∠A，
即∠NMB的度數等于頂角∠A度數的一半；

（4）將（1）中的∠A改為鈍角，這個規律不需要修改，
仍有等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊或底邊的延長線相交所成的銳角等于頂角的一半．