Question

在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線MN交AC于D．在下列結論中：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分線；③∠BDC=100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD=BD=BC．上述結論中，正確的有

①②④⑤

．（填寫序號）

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，再根據在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°求出∠C的度數；由線段垂直平分線的性質求出∠ABD的度數，故可得出∠DBC的度數，進而得出BD是∠ABC的平分線；由三角形內角和定理可求出∠BDC的度數；由線段垂直平分線的性質，易證得△ABD是等腰三角形；

解答：解：∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

180°-∠A

2

=72°，
故①正確；
∵DM是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°，
∴BD是∠ABC的平分線，
故②正確；
∵在△BCD中，∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠C）=180°-（36°+72°）=72°．
故③錯誤；
∵DM是AB的垂直平分線，
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形；
故④正確；
∵MN是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴∠CBD=36°，
∴BD=CD，
∴AD=BD=BC，故⑤正確；
故答案為：①②④⑤．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質，熟知垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵．