Question

【題目】已知拋物線y1＝x2﹣2x+c的部分圖象如圖1所示：

（1）確定c的取值范圍；

（2）若拋物線經過點（0，﹣1），試確定拋物線y1＝x2﹣2x+c的解析式；

（3）若反比例函數y2＝的圖象經過（2）中拋物線上點（1，a），試在圖2所示直角坐標系中，畫出該反比例函數及（2）中拋物線的圖象，并利用圖象寫出當y1＞y2時，對應自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）c＜0；（2）y1＝x2﹣2x﹣1；（3）圖詳見解析，當x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2時，y1＞y2．．

【解析】

（1）根據圖1中拋物線的圖象可知：c＜0且拋物線與x軸應該有兩個交點，因此△＞0，由此可求出c的取值范圍．

（2）將點（0，﹣1）的坐標代入拋物線中即可得出函數的解析式．

（3）求兩圖象交點是一個難點，兩圖象交點即為兩圖象所對應解析式構成方程組的解，觀察圖象，y1與y2除交點（1，﹣2）外，還有兩個交點大致為（﹣1，2）和（2，﹣1），把x＝﹣1，y＝2和x＝2，y＝﹣1分別代入y1＝x2﹣2x﹣1和y2＝可知，（﹣1，2）和（2，﹣1）是y1與y2的兩個交點．根據圖象可知：當x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2時，y1＞y2．

解：（1）根據圖象可知c＜0，

且拋物線y1＝x2﹣2x+c與x軸有兩個交點

所以一元二次方程x2﹣2x+c＝0有兩個不等的實數根．

所以△＝（﹣2）2﹣4c＝4﹣4c＞0，且c＜0

所以c＜0．

（2）因為拋物線經過點（0，﹣1）

把x＝0，y1＝﹣1代入y1＝x2﹣2x+c

得c＝﹣1

故所求拋物線的解析式為y1＝x2﹣2x﹣1

（3）因為反比例函數y2＝的圖象經過拋物線y1＝x2﹣2x﹣1上的點（1，a）

把x＝1，y1＝a代入y1＝x2﹣2x﹣1，得a＝﹣2

把x＝1，a＝﹣2代入y2＝，得k＝﹣2

所以y2＝，

畫出y2＝的圖象如圖所示．

觀察圖象，y1與y2除交點（1，﹣2）外，還有兩個交點大致為（﹣1，2）和（2，﹣1）

把x＝﹣1，y2＝2和x＝2，y2＝﹣1；

分別代入y1＝x2﹣2x﹣1和y＝可知：（﹣1，2）和（2，﹣1）是y1與y2的兩個交點

根據圖象可知：當x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2時，y1＞y2．