Question

【題目】（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，O為原點，直線y =－2x－1與y軸交于點A，與直線y =－x交于點B，點B關于原點的對稱點為點C．

（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點，它關于原點的對稱點為Q．

①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；

②若點P的橫坐標為t（－1＜t＜1），當t為何值時，四邊形PBQC面積最大，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-1（2）①點P的坐標為（1+，1+）或（1-，1-）②2

【解析】

試題分析：（1）根據直線y =－2x－1與y軸交于點A，與直線y =－x交于點B，點B關于原點的對稱點為點C，構造方程組可求A、B、C的坐標；然后利用待定系數法設出二次函數的解析式，代入點的坐標可求解析式；

（2）①如圖1，根據點P在拋物線上，可設P點的坐標為（m，），根據菱形的對角線互相垂直平分的性質知PQ在直線y=x上，因此可求得m的值，即可求P點的坐標；

②如圖2，設點P的坐標為（t，t2 - t - 1）．過點P作PD∥y軸，交直線y = - x于點D，則D（t，- t）．分別過點B，C作BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分別為點E，F．可以表示出PD的長的關系式，以及BE+CF值，從而表示出，然后可求菱形的面積，根據二次函數的最值的性質求得四邊形的最大面積．

試題解析：解：（1）解方程組得

∴點B的坐標為（-1，1）

∵點C和點B關于原點對稱，

∴點C的坐標為（1，-1）．

又∵點A是直線y=-2x-1與y軸的交點，

∴點A的坐標為（0，-1）．

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∴

解得

∴拋物線的解析式為y=x2-x-1．

（2）①如圖1，∵點P在拋物線上，

∴可設點P的坐標為（m，m2-m-1）．

當四邊形PBQC是菱形時，O為菱形的中心，

∴PQ⊥BC，即點P，Q在直線y = x上，

∴m = m2-m-1，

解得m = 1±．

∴點P的坐標為（1+，1+）或（1-，1-）．

②方法一：

如圖2，設點P的坐標為（t，t2 - t - 1）．

過點P作PD∥y軸，交直線y = - x于點D，則D（t，- t）．

分別過點B，C作BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分別為點E，F．

∴PD = - t -（ t2 - t -1）= - t2 + 1，BE + CF = 2，

∴＝PD·BE +PD·CF

＝PD·（BE + CF）

＝（- t2 + 1）×2

＝- t2 + 1．

∴＝-2t2+2．

∴當t＝0時，有最大值2．

方法二：

如圖3，過點B作y軸的平行線，過點C作x軸的平行線，兩直線交于點D，連接PD．

∴S△PBC＝S△BDC-S△PBD-S△PDC

＝×2×2-×2（t+1）-×2（t2-t-1+1）

＝-t2+1．

∴＝-2t2+2．

∴當t＝0時，有最大值2．

方法三：如圖4，過點P作PE⊥BC，垂足為E，作PF∥x軸交BC于點F．

∴PE=EF．

∵點P的坐標為（t，t2-t-1），

∴點F的坐標為（-t2+t+1，t2-t-1）．

∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1．

∴PE＝（-t2+1）．

∴S△PBC＝BC·PE＝××（-t2+1）

＝-t2+1．

∴＝-2t2+2．

∴當t＝0時，有最大值2．