Question

19、已知關于x的一元二次方程x²-2x-m+1=0．
（1）若x=3是此方程的一個根，求m的值和它的另一個根；
（2）若方程x²-2x-m+1=0有兩個不相等的實數根，試判斷另一個關于x的一元二次方程x²-（m-2）x+1-2m=0的根的情況．

Answer 1

分析：（1）把x=3代入方程可直接求出m的值，然后把m的值代入原方程，再求另一解；
（2）由方程x²-2x-m+1=0有兩個不相等的實數根，得出△＞0，從而求出m＞0，再由根的辨別式△判斷一元二次方程x²-（m-2）x+1-2m=0的根即可．

解答：解：（1）由已知得，
（-3）²-2×（-3）-m+1=0，
∴m=16，原方程化為x²-2x-15=0，解得x₁=5，x₂=-3，
∴原方程的另一根為5；
（2）依題意得，（-2）2-4×1×（-m+1）＞0，
解得m＞0，
∴一元二次方程x²-（m-2）x+1-2m=0的判別式為，
（m-2）²-4×1×（1-2m）=m²+4m＞0，
即一元二次方程x²-（m-2）x+1-2m=0也有兩個不相等的實數根．

點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．