Question

【題目】如圖，以三角形ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連結AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求證：AC是⊙O的切線：
（2）若BF=8，DF= ，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA、OD，

∵D為弧BE的中點，

∴OD⊥BC，

∠DOF=90°，

∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

∵∠CFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，

∴OA⊥AC，

∵OA為半徑，

∴AC是⊙O切線；

（2）解：∵⊙O半徑是r，

∴OD=r，OF=8-r，

在Rt△DOF中，r2+（8-r）2=（ ）2，

r=6，r=2（舍），

當r=2時，OB=OE=2，OF=BF-OB=8-2=6＞OE，

∴r=2舍去；

即⊙O的半徑r為6．

【解析】（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據切線的判定推出即可；（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根據勾股定理得出方程r2+（8-r）2=（ ）2 ， 求出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．