Question

【題目】在等邊△ABC的頂點A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請問：

（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎，請證明？

（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，EB與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，請利用圖2說明：∠CQE=60°；

（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，證明：DF=EF

Answer 1

【答案】（1)相等，證明見解析；（2)證明見解析；（3)證明見解析．

【解析】

（1）先證明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性質即可證得CD=BE；

（2）先證明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；

（3）如圖3，過點D作DG∥BC交AC于點G，根據等邊三角形的三邊相等，可以證得AD=DG=CE；進而證明△DGF和△ECF全等，最后根據全等三角形的性質即可證明．

（1）解：CD和BE始終相等，理由如下：

如圖1，AB=BC=CA，兩只蝸牛速度相同，且同時出發，

∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°

在△ACD與△CBE中，

AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE

∴△ACD≌△CBE（SAS），

∴CD=BE，即CD和BE始終相等；

（2）證明：根據題意得：CE=AD，

∵AB=AC，

∴AE=BD，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，

∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，

∴∠EAB=∠DBC，

在△BCD和△ABE中，

BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE

∴△BCD≌△ABE（SAS），

∴∠BCD=∠ABE

∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，

∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；

（3）解：爬行過程中，DF始終等于EF是正確的，理由如下：

如圖，過點D作DG∥BC交AC于點G，

∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，

∴△ADG為等邊三角形，

∴AD=DG=CE，

在△DGF和△ECF中，

∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC

∴△DGF≌△EDF（AAS），

∴DF=EF.