Question

如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，CF平分∠DCE，交AD于F，則AF的長為

 

．

Answer 1

分析：找出正方形面積等于正方形內所有三角形面積的和求這個等量關系，列出方程求解，求得DF，根據AF=a-DF即可求得AF．

解答：解：作FH⊥CE，連接EF，

∵∠FHC=∠D=90°，∠HCF=∠DCF，CF=CF
∴△CHF≌△CDF，
又∵S_{正方形ABCD}=S_△CBE+S_△CDF+S_△AEF+S_△CEF，
設DF=x，則a²=

1

2

×

1

2

×1×a+

1

2

×1×x×a+

1

2

×

1

2

×（1-x）×a+CE•FH
∵FH=DF，CE=

BC2+BE2

，
∴整理上式得：2a-x=

5

x，
計算得：x=

5 -1

2

a．
AF=a-x=

3- 5

2

a．
故答案為

3- 5

2

a．

點評：本題考查了轉換思想，考查了全等三角形的證明，求AF，轉化為求DF是解題的關鍵．