Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸負半軸交于B，與正半軸交于點C（8，0），且∠BAC＝90°．

（1）求該二次函數解析式；

（2）若N是線段BC上一動點，作NE∥AC，交AB于點E，連結AN，當△ANE面積最大時，求點N的坐標；

（3）若點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，設所得△PAC的面積為S．問：是否存在一個S的值，使得相應的點P有且只有2個？若有，求出這個S的值，并求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）（3，0）；（3）當S＝16時，相應的點P有且只有兩個

【解析】

（1）證明，求出點B坐標，利用待定系數法即可求出二次函數解析式；

（2）設N（n，0），則BN＝n+2，BC＝10，證明△BNE∽△BAC，得到S△BEN＝（n+2）2，再求出S△BAN＝2n+4，利用割補法求出，根據二次函數性質即可求解；

（3）設P，分別求出當0＜m＜8和﹣2≤m＜0時S與m函數關系式，假設存在一個S的值，使得相應的點P有且只有2個，得到當S＝16時，m＝4或m＝這兩個，問題得解．

解：（1）∵∠BAC＝90°，∠AOC=＝90°，

∴

∴OA2＝OBOC，

由題意知：OA＝4，OC＝8，

∴42＝OB8，

∴OB＝2，

∴B（﹣2，0），

將A、B、C三點坐標代入即得：

，

解得：，

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+4；

（2）設N（n，0），則BN＝n+2，BC＝10，

∵NE∥AC，

∴△BNE∽△BAC，

∴，

∵S△AC＝×10×4＝20，

∴，

S△BEN＝（n+2）2，

∵S△BAN＝×（n+2）×4＝2n+4，

∴，

∵，

∴當n＝3時，最大值S△ANE＝5，

此時N的坐標為：（3，0）；

（3）設直線AC對應的函數解析式為：y＝kx+b，

則，

解得：，

∴直線AC對應的函數解析式為，

如圖，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點Q；

設P，則Q．

①當0＜m＜8時，

PQ，

S＝S△APQ+S△CPQ＝×8×＝﹣（m﹣4）2+16，

∴0＜S≤16；

②當﹣2≤m＜0時，

PQ＝（）﹣（）＝，

S＝S△CPQ﹣S△APQ＝×8×（）＝（m﹣4）2﹣16，

∴0＜S＜20；

∴當0＜S＜16時，0＜m＜8中有m兩個值，﹣2≤m＜0中m有一個值，此時有三個；

當16＜S＜20時，﹣2≤m＜0中m只有一個值；

當S＝16時，m＝4或m＝這兩個．

故當S＝16時，相應的點P有且只有兩個．