Question

【題目】在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ．

（1）若α=60°，且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，此時∠CDB的度數為________

（2）在圖2中，點P不與點B、M重合，線段CQ的延長線交射線BM于點D，則∠CDB的度數為（用含α的代數式表示）________．

（3）對于適當大小的α，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B、M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=DQ，則α的取值范圍是________

Answer 1

【答案】 30° 90°﹣α 45°＜α＜60°

【解析】解：（1）如圖1，∵BA=BC，∠BAC=60°，∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，∵M為AC的中點，∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC．

∵PQ由PA旋轉而成，∴AP=PQ=QM=MC．

∵∠AMQ=2α=120°，∴∠MCQ=60°，∠QMD=30°，∴∠MQC=60°，∴∠CDB=30°．

故答案為：30°；

（2）如圖2，連接PC，∵由（1）得BM垂直平分AC，∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，又∵PQ=PA，∴PQ=PC=PA，∴Q，C，A在以P為圓心，PA為半徑的圓上，∴∠ACQ=∠APQ=α，∴∠BAC=∠ACD，∴DC∥BA，∴∠CDB=∠ABD=90°﹣α．

故答案為：90°﹣α；

（3）∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，∵點P不與點B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，∴2α＞180°﹣2α＞α，∴45°＜α＜60°．

故答案為：45°＜α＜60°．