Question

如圖所示，四邊形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點．
（1）當AB∥CD而AD與BC不平行時，四邊形ABCD稱為

 

形，線段EF叫做其

 

，EF與AB+CD的數量關系為

 

；
（2）當AB與CD不平行，AD與BC也不平行時，猜想EF與AB+CD的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）類比著三角形的中位線定理即可得到梯形的中位線定理．
（2）連接AC，取AC的中點M，連接EM、FM．在三角形EFM中利用三角形的中位線定理可以得到

1

2

DC+

1

2

AB＞EF，從而證明結論．

解答：解：（1）梯形，（1分）中位線，（2分）
2EF=AB+CD；（4分）

（2）AB+CD＞2EF．（7分）
證明如下：
連接AC，取AC的中點M，（8分）
連接EM、FM．
在△ACD中，
∵E為AD中點，M為AC中點，
則EM為△ACD的中位線，∴EM=

1

2

DC；（9分）
在△ABC中，∵F為BC中點，M為AC中點，則FM為△ABC的中位線，∴FM=

1

2

AB．（10分）
在△EFM中，∵EM+FM＞EF，（11分）
即

1

2

DC+

1

2

AB＞EF，
兩邊同乘以2，得AB+CD＞2EF．（12分）

點評：本題考查了三角形的中位線定理的知識，另外本題中還涉及到了類比的數學思想．