Question

【題目】在直角三角形中，，，在邊上取一點，使得，點、分別是線段、的中點，連接和，作，交于點，如圖1所示.

（1）請判斷四邊形是什么特殊的四邊形，并證明你的結論；

（2）將繞點順時針旋轉到，交線段于點，交于點，如圖2所示，請證明：；

（3）在第（2）條件下，若點是中點，且，，如圖3，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）是菱形，見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）先判斷出DF∥EM，進而判斷出EF∥CD，得出四邊形DFEM是平行四邊形，再判斷出DF=DM，即可得出結論；
（2）先判斷出∠FEG=∠MEN，進而判斷出∠DAF=∠ADF，即可得出∠AFE=∠CDF，進而得出∠AFE=∠CME，進而判斷出△EFG≌△EMN（ASA），即可得出結論；
（3）先求出BC=6，進而求出CE=3，BD=2，CD=2，進而求出FG=AF= ，即可求出MN=FG=，再求出EF=CD=，進而得出CN，即可求出EH=CN，CH，進而得出EH=CE-CH，最后用勾股定理即可得出結論．

解：（1）∵，是，的中點，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，點是的中點，

∴點是的中點，

∴，

∵點是中點，

∴，

∵，

∴，

∵四邊形是平行四邊形，

∴是菱形；

（2）由旋轉知，，

∴，

在中，點是中點，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

由（1）知，四邊形是菱形，

∴，

∴，

∴，

（3）延長交于，在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，點是中點，

∴，

∴，

∴

∴，

在中，，

∴，

在中，，

∴

∴，

∵為中點，

∴，

∵，

∴，

∵為中點，

∴，

∵，

∴，

∴,

∴，

在中，.