Question

（2013•鎮江二模）如圖，二次函數y=ax²+c與x軸交于A、B兩點，且AB=4，與y軸交于點C（0，2），點P從A點出發，以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設PQ交直線AC于點G．
（1）求二次函數y=ax²+c關系式和直線AC的函數關系式；
（2）設△PQC的面積為S，求S關于t的函數解析式；
（3）在y軸上找一點M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；
（4）過點P作PE⊥AC，垂足為E，當P點運動時，線段EG的長度是否發生改變？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線AC經過點A，C，根據拋物線的解析式面積可求得兩點坐標，利用待定系數法就可求得AC的解析式；
（2）根據三角形面積公式即可寫出解析式；
（3）可以分腰和底邊進行討論，即可確定點的坐標；
（4）過G作GH⊥y軸，根據三角形相似，相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+c與x軸交于A、B兩點，且AB=4，
∴A點的坐標為（-2，0），
∵與y軸交于點C（0，2），
∴c=2，
∴0=4a+2，
∴a=-

1

2

，
∴二次函數y=ax²+c關系式為y=-

1

2

x²+2，
設直線AC的解析式是y=kx+b，由題意可知

0=-2k+b b=2

，
解得：k=1，b=2，
即直線AC的解析式是y=x+2；

（2）當0＜t＜2時，
OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=

1

2

（2-t）t=-

1

2

t²+t，
當2＜t≤4時，
OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=

1

2

（t-2）t=

1

2

t²-t，

（3）（0，-2）；（0，2+2

2

)； （0，2-2

2

)；

（4）當P點運動時，線段EG的長度不變EG=

2

，
理由如下：當0＜t＜2時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=

2

2

t，
由

GH

PO

=

QH

QO

即

GH

2-t

=

GH+t

2+t

，
解得：GH=1-

1

2

t，
∴CG=

2

GH=

2

-

2

2

t，
∴GE=AC-AE-GC=2

2

-

2

2

t-（

2

-

2

2

t）=

2

，
即GE的長度不變．
當2＜t≤4時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=

2

2

t，
由

GH

PO

=

QH

QO

即

GH

t-2

=

t-GH

2+t

，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=

t-2

2

，
∴CG=

2

GH=

2 (t-2)

2

，
于是，GE=AC-AE+GC=2

2

-

2

2

t+

2 (t-2)

2

=

2

，
即GE的長度不變．
綜合得：當P點運動時，線段EG的長度不發生改變，為定值

2

．

點評：本題考查用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式以及三角形的面積公式和相似三角形的性質，解題的難點在于分類討論的數學思想的運用，要做到不重不漏的分析問題的存在性．