Question

【題目】已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點F，AE⊥BF于點O，交BC于點E，連接EF．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AE＝12，BF＝16，CE＝5，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCD的面積為144．

【解析】

（1）根據平行四邊形對邊平行的性質和BF平分∠ABC，可得∠AFB＝∠ABF，進而得出AB=AF，再證明△ABO≌△EBO得AB=BE，最后得出四邊形ABEF是菱形；
（2）作AG⊥BC于點G，根據勾股定理以及菱形的性質先求出BE的長，再利用菱形面積公式求出AG的長，最后即可求得四邊形ABCD的面積．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，

∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，

∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，

∵AE⊥BF，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，

又OB＝OB，∠ABO＝∠EBO，

∴△ABO≌△EBO（ASA），

∴AB＝BE=AF，

又AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB＝BE，

∴平行四邊形ABEF是菱形；

（2）如圖，作AG⊥BC于點G，

∵四邊形ABEF是菱形，

∴OE＝AE＝6，OB＝BF＝8，

∴在Rt△OBE中，BE＝＝10．

又S菱形ABEF=×AE×BF=BE×AG，

∴×12×16=10×AG，∴AG＝．

∴四邊形ABCD的面積為：BCAG＝（10+5）×＝144．