Question

（2012•青海）已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA=MC．
①求證：CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

Answer 1

分析：①根據兩直線平行，內錯角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角邊角”證明△AMD和△CMN全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=CN，然后判定四邊形ADCN是平行四邊形，再根據平行四邊形的對邊相等即可得證；
②根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和推出∠MCD=∠MDC，再根據等角對等邊可得MD=MC，然后證明AC=DN，再根據對角線相等的平行四邊形是矩形即可得證．

解答：證明：①∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵

∠DAC=∠NCA MA=MC ∠AMD=∠CMN

，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
又∵AD∥CN，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∴CD=AN；

②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MD=MC，
由①知四邊形ADCN是平行四邊形，
∴MD=MN=MA=MC，
∴AC=DN，
∴四邊形ADCN是矩形．

點評：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形與矩形之間的關系，并由第一問求出四邊形ADCN是平行四邊形是解題的關鍵．