Question

【題目】如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF，過點C作AB的平行線CD，與線段EF的延長線交于點D，連接CE、BD．
（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形．
（2）若∠ABC=120°，AB=BC=4，則在點E的運動過程中： ①當BE=時，四邊形BECD是矩形，試說明理由；
②當BE=時，四邊形BECD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB∥CD，

∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，

∵點F是BC的中點，

∴BF=CF，

在△DCF和△EBF中，

，

∴△EBF≌△DCF（AAS），

∴DC=BE，

∴四邊形BECD是平行四邊形

（2）2；4
【解析】（2）解：①BE=2； ∵當四邊形BECD是矩形時，∠CEB=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°；
∴∠ECB=30°，
∴BE= BC=2，
所以答案是：2；②BE=4，
∵四邊形BECD是菱形時，BE=EC，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
∴△CBE是等邊三角形，
∴BE=BC=4．
所以答案是：4．

【考點精析】掌握平行四邊形的判定和菱形的判定方法是解答本題的根本，需要知道兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．