Question

如圖所示，⊙O的半徑OA=1，點M是線段OA延長線上的任意一點，⊙M與⊙O內切于點B，過點A作CD⊥OA交⊙M于C、D，連接CM、OC，OC交⊙O于E．
（1）若設OM=x，S_△OMC=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（2）將⊙O沿弦CD翻折得到⊙N，當x=4時，試判斷⊙N與直線CM的位置關系；
（3）將⊙O繞著點E旋轉180°得到⊙P，如果⊙P與⊙M內切，求x的值．

Answer 1

分析：（1）要求y關于x的函數解析式，根據三角形的面積公式，只需求得AC的長．根據兩圓內切，圓心距等于兩圓半徑之差，可以求得CM=x+1，又AM=x-1，根據勾股定理求得AC的長，從而求得函數解析式，結合圖形，即可求得x的取值范圍；
（2）作NH⊥CM于H．根據題意，得到CM=5，AM=3，AC=4，MN=3-1=2．再根據解直角三角形的知識求得NH的長，從而判斷直線和圓的位置關系；
（3）連接ME．根據題意，得MP=OM=x，OE=PE=1，則ME⊥OP．根據勾股定理，發(fā)現ME=AC=2

x

．再進一步根據勾股定理，得4x+1=x²，從而求解．

解答：解：（1）∵⊙M與⊙O內切于點B，
∴CM=x+1．
又∵AM=x-1．
∴在直角三角形AMC中，根據勾股定理，得AC=

(x+1)2-(x-1)2

=2

x

，
則

1

2

x•2

x

=y，
即y=x

x

（x＞1）；

（2）當x=4時，則CM=5，AM=3，AC=4．

根據題意，得MN=3-1=2．
在直角三角形AMC中，sinM=

4

5

，
在直角三角形MNH中，則NH=2×

4

5

=

8

5

＞1，
則⊙N與直線CM的位置關系是相離；

（3）連接ME．
∵

∠O=∠O OE=OA ∠OAC=∠OEM=90°

，
∴△COA≌△OEM，
∴設MP=OM=OC=x，OE=PE=1，
則ME⊥OP．
∵OE=OA，
∴在Rt△OME中，ME=

OM2-OE2

，
在Rt△OAC中，AC=

OC2-OA2

，
∵OM=OC，OE=OA，
∴ME=AC=2

x

．
根據勾股定理，得4x+1=x²，
解，得x=2±

5

，
又x＞1，
∴x=2+

5

．

點評：此題綜合考查了兩圓的位置關系與數量之間的聯系、直線和圓的位置關系與數量之間的聯系、勾股定理、等腰三角形的性質等．