Question

如圖所示，⊙O的半徑為2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，且sin∠CBD=

1

4

，則OM=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．1
• D．

  2

  3

Answer 1

分析：連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠ABE=90°，由于BD⊥AC，所以∠BDC=90°，由于∠AEB=∠ACB，所以∠BAE=∠CBD，故sin∠BAE=

BE

AE

=sin∠CBD=

1

4

，故可求出BE的長，再根據(jù)O是AE的中點(diǎn)，OM⊥AM可知OM是△ABE的中位線，故OM=

1

2

BE，故可得出結(jié)論．

解答：解：連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，
∵AE是⊙O的直徑，⊙O的半徑為2，
∴∠ABE=90°，AE=4，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CBD，
∴sin∠BAE=

BE

AE

=sin∠CBD=

1

4

=

BE

4

，解得BE=1，
∵O是AE的中點(diǎn)，OM⊥AM，
∴OM是△ABE的中位線，
∴OM=

1

2

BE=

1

2

．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查的是圓周角定理及三角形的中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．