Question

（11·孝感）（滿分10分）如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是上任一點（點P不與點A、B重合），連AP、BP，過點C作CM∥BP交的延長線于點M.
（1）填空：∠APC＝______度，∠BPC＝_______度；（2分）
（2）求證：△ACM≌△BCP；（4分）
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面積.（4分）

Answer 1

解：（1）∠APC＝60°，∠BPC＝60°；……………………………………2分
（2）∵CM∥BP
∴∠BPM＋∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC＝60°
∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－(∠APC＋∠BPC)＝180°－120°＝60°
∴∠M＝∠BPC＝60°……………………………………4分
∴BC＝AC，∠BCA＝60°
∴∠PCM－∠ACP＝∠BCA－∠ACP
即∠ACM＝∠BCP……………………………………5分
在△ACM和△BCP中
∠M＝∠BPC      ∠ACM＝∠BCP    BC＝AC
∴△ACM≌△BCP……………………………………6分
（3）∵△ACM≌△BCP     ∴CM＝CP   AM＝BP
又∠M＝60° ∴△PCM為等邊三角形……………………………………8分
∴CM＝CP＝PM＝1＋2＝3
作PH⊥CM于H

在Rt△PMH中，∠MPH＝30°

略