Question

【題目】如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點A，C在x軸上，點B坐標為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的拋物線過點B，D．

（1）求點A的坐標（用m表示）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交AC于點F，試證明：FC（AC+EC）為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=BC=m，OA=m﹣3，

∴點A的坐標是（3﹣m，0）

（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°

∴OD=OA=m﹣3，

則點D的坐標是（0，m﹣3）．

又拋物線頂點為P（1，0），且過點B、D，

所以可設拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）2，

得：

解得

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1

（3）解：方法一：

證明：過點Q作QM⊥AC于點M，過點Q作QN⊥BC于點N，

設點Q的坐標是（x，x2﹣2x+1），

則QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x．

∵QM∥CE

∴△PQM∽△PEC

∴

即 ，得EC=2（x﹣1）

∵QN∥FC

∴△BQN∽△BFC

∴

即 ，得

又∵AC=4

∴FC（AC+EC）= [4+2（x﹣1）]= （2x+2）= ×2×（x+1）=8

即FC（AC+EC）為定值8．

方法二：

設Q（t，t2﹣2t+1），B（3，4），

設直線BQ：y=kx+b，

∴lBQ：y=（t+1）x+1﹣3t，

把y=0代入y=（t+1）x+1﹣3t，

∴x= ，即F（ ，0），

∵P（1，0），Q（t，t2﹣2t+1），

∴lPQ：y=（t﹣1）x+1﹣t，

把x=3代入，∴y=2t﹣2，即E（3，2t﹣2），

∴FC（AC+EC）=（CX﹣FX）（CX﹣AX+EY﹣CY）=（3﹣ ）（4+2t﹣2）=8．

【解析】（1）求A點坐標可先求OA，利用線段之差即可求出；（2）先把拋物線解析式設成頂點式，再把B（3，m)、D點坐標（0，m-3)代入即可；（3） 線段的積可利用相似的性質對應邊成比例，轉化為其他線段的積.