Question

【題目】如圖，正方形的邊，在坐標軸上，點的坐標為．點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿軸向點運動；點從點同時出發，以相同的速度沿軸的正方向運動，規定點到達點時，點也停止運動，連接，過點作的垂線，與過點平行于軸的直線相交于點，與軸交于點，連接，設點運動的時間為秒．

（1）線段 （用含的式子表示），點的坐標為 （用含的式子表示），的度數為 ．

（2）經探究周長是一個定值，不會隨時間的變化而變化，請猜測周長的值并證明．

（3）①當為何值時，有．

②的面積能否等于周長的一半，若能求出此時的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（t，t），45°；（2）△POE周長是一個定值為10，理由見解析；（3）①當t為（5-5）秒時，BP=BE；②能，PE的長度為2．

【解析】

（1）由勾股定理得出BP的長度；易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數和點D的坐標．
（2）延長OA到點F，使得AF=CE，證明△FAB≌△ECB（SAS）．得出FB=EB，∠FBA=∠EBC．再證明△FBP≌△EBP（SAS）．得出FP=EP．得出EP=FP=FA+AP=CE+AP．即可得出答案；
（3）①證明Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．得出AP=CE．則PO=EO=5-t．由等腰直角三角形的性質得出PE=PO=（5-t）．延長OA到點F，使得AF=CE，連接BF，證明△FAB≌△ECB（SAS）．得出FB=EB，∠FBA=∠EBC．證明△FBP≌△EBP（SAS）．得出FP=EP．得出EP=FP=FA+AP=CE+AP．得出方程（5-t）=2t．解得t=5-5即可；
②由①得：當BP=BE時，AP=CE．得出PO=EO．則△POE的面積=OP2=5，解得OP=，得出PE=OP-=2即可．

解：（1）如圖1，

由題可得：AP=OQ=1×t=t，
∴AO=PQ．
∵四邊形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∴BP=，
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，

，
∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t
∴點D坐標為（t，t）．
故答案為：，（t，t），45°．
（2）△POE周長是一個定值為10，理由如下：
延長OA到點F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．
在△FAB和△ECB中，

，
∴△FAB≌△ECB（SAS）．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=5+5=10．
∴△POE周長是定值，該定值為10．
（3）①若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，

，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO=5-t．
∵∠POE=90°，
∴△POE是等腰直角三角形，
∴PE=PO=（5-t）．
延長OA到點F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．
在△FAB和△ECB中，

，
∴△FAB≌△ECB（SAS）．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，

，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．
∴EP=t+t=2t．
∴（5-t）=2t．
解得：t=5-5，
∴當t為（5-5）秒時，BP=BE．
②△POE的面積能等于△POE周長的一半；理由如下：
由①得：當BP=BE時，AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO．
則△POE的面積=OP2=5，
解得：OP=，
∴PE=OP==2；
即△POE的面積能等于△POE周長的一半，此時PE的長度為2．