Question

【題目】已知，如圖，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC為直徑作半圓⊙O，交邊AC于點F，點B在CD的延長線上，連接BF，交AD于點E，∠BED＝2∠C．

（1）求證：BF是⊙O的切線；

（2）若BF＝FC，，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑是3．

【解析】

（1）欲證BF是圓O的切線，只需證明OF⊥BF；

（2）根據角與角間的數量關系推知△AEF的等邊三角形．所以易求AD=2．則通過解直角△ADC來求直徑CD的長度．

（1）證明：連接OF．

∵∠OFB=180°﹣∠B﹣∠BOF=180°﹣∠B﹣2∠C=180°﹣∠B﹣∠BED=90°，

∴OF⊥BF，

∴BF是⊙O的切線；

（2）解：∵BF=FC，

∴∠B=∠FCB，

∵∠BED=2∠C，

∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠AFE=60°，∠BED=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

則EF=AE=．

∴AD=2．

又∵∠C=30°，

∴CD=6，

∴⊙O的半徑是3．