Question

【題目】請閱讀下列材料，并完成相應的任務．

人類會作圓并且真正了解圓的性質是在2000多年前，由我國的墨子給出圓的概念：“一中同長也．”．意思說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等．這個定義比希臘數學家歐幾里得給圓下的定義要早100年．與圓有關的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．

我們把頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．

弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾弧所對的圓周角度數．

下面是弦切角定理的部分證明過程：

證明：如圖①，AB與⊙O相切于點A．當圓心O在弦AC上時，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度數等于它所夾半圓所對的圓周角度數．

如圖②，AB與⊙O相切于點A，當圓心O在∠BAC的內部時，過點A作直徑AD交⊙O于點D，在上任取一點E，連接EC，ED，EA，則∠CED＝∠CAD．

…

任務：

(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

(2)如圖③，AB與⊙O相切于點A．當圓心O在∠BAC的外部時，請寫出弦切角定理的證明過程．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）利用圓周角定理得到∠DEA＝90°，再根據同弧所對的圓周角相等得到∠CED＝∠CAD，最后利用等式的性質即可得到∠CEA＝∠CAB；

（2）通過∠C=90°說明∠CFA＋∠FAC＝90°，再根據同角的余角相等得到∠CAB＝∠CFA即可.

解：（1）∵AD是⊙O直徑，

∴∠DEA＝90°．

∵AB與⊙O相切于點A，

∴∠DAB＝90°．

∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB．

∴弦切角的度數等于它所夾弧所對的圓周角度數；

（2）證明：如圖，過點A作直徑AF交⊙O于點F，連接FC．

∵AF是直徑，

∴∠ACF＝90°．

∴∠CFA＋∠FAC＝90°．

∵AB與⊙O相切于點A，

∴∠FAB＝90°．

∴∠CAB＋∠FAC＝90°．

∴∠CAB＝∠CFA，

即弦切角的度數等于它所夾弧所對的圓周角度數．