Question

【題目】如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN．

（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案．

解：（1）證明：由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠ANM=∠CMN．

∴∠CMN=∠CNM．∴CM=CN．

（2）過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形．

∴HC=DN，NH=DC．

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，

∴．

∴MC=3ND=3HC．∴MH=2HC．

設DN=x，則HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN．

在Rt△CDN中，，

∴HN=．

在Rt△MNH中，，

∴．