Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB．

（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）若AD=2，AE=6，求EC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】試題（1）取BD的中點0，連結OE，如圖，由∠BED=90°，根據圓周角定理可得BD為△BDE的外接圓的直徑，點O為△BDE的外接圓的圓心，再證明OE∥BC，得到∠AEO=∠C=90°，于是可根據切線的判定定理判斷AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，根據勾股定理得62+r2=（r+2）2，解得r=2，根據平行線分線段成比例定理，由OE∥BC得，然后根據比例性質可計算出EC．

試題解析：（1）證明：取BD的中點0，連結OE，如圖，

∵DE⊥EB，

∴∠BED=90°，

∴BD為△BDE的外接圓的直徑，點O為△BDE的外接圓的圓心，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠EB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴OE⊥AE，

∴AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，則OA=OD+DA=r+2，OE=r，

在Rt△AEO中，∵AE2+OE2=AO2，

∴62+r2=（r+2）2，解得r=2，

∵OE∥BC，

∴，即，

∴CE=3．