Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，O是△ABC內部的一個動點，△OBD是等腰直角三角形，OB＝BD．

（1）求證：∠AOB＝∠CDB；

（2）若△COD是等腰三角形，∠AOC＝140°，求∠AOB的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠AOB的度數為110°或95°或125°．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；

（2）設∠AOB的度數為x，分三種情況進行解答即可．

（1）∵△ABC和△OBD是等腰直角三角形，

∴AB＝BC，OB＝BD，∠ABC＝∠OBD＝90°，

∵∠ABO+∠OBC＝∠CBD+∠OBC，

∴∠ABO＝∠CBD，

在△ABO和△CBD中

，

∴△ABO≌△CBD（SAS），

∴∠AOB＝∠CDB；

（2）設∠AOB的度數為x，則∠CDB＝x，∠CDO＝x﹣45°，

∠COD＝∠COB﹣∠DOB＝360°﹣140°﹣x﹣45°＝175°﹣x，

∠OCD＝180°﹣∠CDO﹣∠COD＝50°，

①當∠CDO＝∠COD時，x﹣45°＝175°﹣x，解得：x＝110°，

②當∠CDO＝∠OCD時，x﹣45°＝50°，解得：x＝95°，

③當∠COD＝∠OCD時，175°﹣x＝50°，解得：x＝125°，

故∠AOB的度數為110°或95°或125°．