Question

如圖．點P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上的一個動點（P不與A，C重合）且PE=PB 
（1）求證：PE⊥PD．
（2）設AP=x，四邊形PECD的面積為y，求出y與x的關系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先證明：△PBC≌△PDC，利用全等三角形的性質可得：∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．
（2）作出三角形的高，用未知數表示出即可．

解答：（1）證明∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC （SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD；

（2）過點P作PF⊥BC，垂足為F，則BF=FE．（如圖3）
∵AP=x，AC=

2

，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=

2

-x，PF=FC=1-

2

2

x，BF=FE=1-FC=1-（1-

2

2

x）=

2

2

x，
∴S_△PBE=

1

2

EB•FP=BF•PF=-

1

2

x²+

2

2

x，
∴四邊形PECD的面積為y=2S_△BPC-S_△PBE=2S_△PBE=-x²+

2

x．

點評：本題主要考查了正方形，矩形的性質，全等三角形的判定，列二次函數關系式，通過構建全等三角形來得出相關的邊和角相等是解題的關鍵．