Question

【題目】已知拋物線y=a（x+4）（x﹣6）與x軸交于A，B兩點（點A在B的左側），頂點為P，且點P在直線y=2x+m上．

（1）試用含m的代數式表示a；

（2）若△ABP為直角三角形，試求該拋物線和直線的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）a=﹣；（2）拋物線解析式為y=﹣x2+x+，直線解析式為y=2x+3．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線與x軸的交點問題得到A（﹣4，0），B（6，0），則拋物線的對稱軸為直線x=1，所以P點坐標可表示為（1，﹣25a），然后根據一次函數圖象上點的坐標特征得到﹣25a=2+m，再用m表示a即可；

（2）根據拋物線的對稱性可判斷△ABP為等腰直角三角形，作PC⊥x軸于C，如圖，根據等腰直角三角形的性質得PC=AB，即|﹣25a|=×（6+4），解得a=±，則可分別計算出對應的m的值，然后寫出對應的拋物線解析式和直線解析式．

解：（1）∵拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣6），

∴A（﹣4，0），B（6，0），

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

即P點的橫坐標為1，

∴P（1，﹣25a），

又∵P在直線y=2x+m上，

∴﹣25a=2+m，

∴a=﹣；

（2）由拋物線的對稱性可知，△ABP為等腰直角三角形，且∠APB=90°，

作PC⊥x軸于C，如圖，則PC=AB，

∴|﹣25a|=×（6+4），

∴a=±，

當a=時，﹣=，解得m=﹣7，此時拋物線解析式為y=（x+4）（x﹣6），即y=x2﹣x﹣，直線解析式為y=2x﹣7；

當a=﹣時，﹣=﹣，解得m=3，此時拋物線解析式為y=﹣（x+4）（x﹣6），即y=﹣x2+x+，直線解析式為y=2x+3．